Question

高中数学！谢谢

设函数f(x)=x2+bln(x+1)，b不等于零。
当b=1时，求函数在x=1处的切线方程。（x2是x的平方）
求函数的单调区间
谢谢

Answer 1

(1) 函数f(x)=x2+ln(x+1)，f(1)=1+ln2
F’(x)=2x+1/(x+1)==> F’(1)=2+1/2=5/2
∴函数在x=1处的切线方程为y-1-ln2=5/2(x-1)

(2) 函数f(x)=x2+bln(x+1) 定义域为(x>-1)
F’(x)=2x+b/(x+1)= (2x^2+2x+b)/(x+1)
当b>1/2时，2x^2+2x+b >0,即f’(x)>0,f(x)单调增

当0<b<=1/2时，令2x^2+2x+b=0
x1=[-1-√(1-2b)]/2，x2=[-1+√(1-2b)]/2
当x∈(-1,x1),f’(x)>0,f(x)单调增；x∈(x1,x2),f’(x)<0,f(x)单调减；x∈(x2,+∞),f’(x)>0,f(x)单调增；

当b<=0时，x1在定义域之外
x∈(-1,x2),f’(x)<0,f(x)单调减；x∈(x2,+∞),f’(x)>0,f(x)单调增；

Answer 2

由导数的几何意义可知,当b=1时
f'(x)=2x+1/(x+1)
所以当x=1时切线斜率为K=f'(1)=5/2
又函数过点(1,1+ln2)
所以切线方程为y-(1+ln2)=5/2(x-1)
由不等式f'(x)=2x+1/(x+1)>0可解得单调增区间(-1,正无穷大)

Answer 3

(1) 函数f(x)=x2+ln(x+1)，f(1)=1+ln2
F’(x)=2x+1/(x+1)==> F’(1)=2+1/2=5/2
∴函数在x=1处的切线方程为y-1-ln2=5/2(x-1)

(2) 函数f(x)=x2+bln(x+1) 定义域为(x>-1)
F’(x)=2x+b/(x+1)= (2x^2+2x+b)/(x+1)
当b>1/2时，2x^2+2x+b >0,即f’(x)>0,f(x)单调增

当0<b<=1/2时，令2x^2+2x+b=0
x1=[-1-√(1-2b)]/2，x2=[-1+√(1-2b)]/2
当x∈(-1,x1),f’(x)>0,f(x)单调增；x∈(x1,x2),f’(x)<0,f(x)单调减；x∈(x2,+∞),f’(x)>0,f(x)单调增；

当b<=0时，x1在定义域之外
x∈(-1,x2),f’(x)<0,f(x)单调减；x∈(x2,+∞),f’(x)>0,f(x)单调增；

Answer 4

切线方程 f(x)=5/2*x+3/2+ln(2)
单调区间 x>-1 函数单调增加
x<-1 函数单调下降

Answer 5

f(x)=x2+ln(x+1)
f'(x)=2x+1/(x+1)
K=2.5
y=2.5x-1.5+ln2

f'(x)=2x+b/(x+1)
(1)b>0.5时
单增（-1，正无穷）单减（负无穷，-1）
（2）b<0.5时
单增（负无穷，-1）单减（-1，正无穷）