Question

已知正数列{an}的前n项和为Sn,有a1^3+a2^3+a3^3+.....+an^3=Sn^2.（1）求an

（2）若bn=2^n+(-1)^n×m×an为递增数列，求m的范围。
主要是第二问，给详细步骤。

Answer 1

解：由a1^3+a2^3+a3^3+.....+an^3=Sn^2
得a1^3+a2^3+a3^3+.....+an^3+an+1^3=Sn+1^2
两式相减得：
an+1^3=Sn+1^2-Sn^2
=(Sn+1 +Sn)(Sn+1 -Sn)
=an+1(Sn+1 +Sn)
则由an+1>0，化为
an+1^2=Sn+1 +Sn
则当n>1时，
an^2=Sn +Sn-1
上两式相减得：
an+1^2 -an^2=Sn+1 -Sn-1=an+1 +an
则简化为an+1 -an=1
则an为公差为1的等差数列
由a1^3=S1^2=a1^2,且a1>0，得a1=1
则an=n

当bn=2^n+(-1)^n×m×an为递增数列，
则bn=2^n+(-1)^n×m×an
=2^n+(-1)^n*mn
则必有bn+1-bn
= 2^(n+1)+(-1)^(n+1)*m(n+1)-2^n-(-1)^n*mn
=2^n+(-1)^(n+1)*m(1+2n)
当n为奇数时，bn+1-bn=2^n+m(1+2n)>0恒成立；
当n为偶数时，bn+1-bn=2^n-m(1+2n)〉0要成立，则m<2^n/(1+2n),而可证f(n)=2^n/(1+2n) 为增函数，
则n为偶数时，f(n)min=4/5，
则只需m<4/5即可
所以m<4/5

Answer 2

a1^3+a2^3+a3^3+.....+an^3=Sn^2 一式
a1^3+a2^3+a3^3+.....+an+1^3=Sn+1^2 二式
一式减二式 得an+1^2=sn+1+sn
an+1^2=2sn+an+1
an+1^2-an+1=2sn一式
an^2-an=2sn-1二式
一式减二式 得an+1^2-an+1=an^2+an
由正数列得an+1-an=1
an=n