Question

已知三角形的三条边长为a,b,c,且a-b=b-c=2,它最大角的正弦值为√3/2，则此三角形的最大面积为

Answer 1

因为三角形的最大角的正弦值为√3/2，故角A=120度。因为如果角A=60度，那么一定有一角不小于角A，而a-b=b-c=2，故角A>角B>角C，故角A不可能为60度。
根据余弦定理有
b^2+c^2-2bc*cosC=a^2
将a=c+4 b=c+2 cocC=cos120°=-0.5代入得
(c+2)^2+c^2+c(c+2)=(c+4)^2
因为c为正数，故解得c=3
三角形面积=0.5*bcsinA=(15√3 )/4

Answer 2

由于a-b=b-c=2，所以a=b+2,b=c+2,a=b+2=c+2+2=c+4
三角形三边中a=c+4最大，其对应角A正弦值√3/2，即sinA=√3/2,所以cosA=1/2或cosA=-1/2
又由余弦定理知cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)，将a=c+4,b=c+2代入可得
cosA=（c^2-4c-12)/(c^2+2c)
讨论cosA=1/2还是cosA=-1/2
将cosA=1/2代入cosA=（c^2-4c-12)/(c^2+2c)可解得c=-2（边长是负数，不合题意）
故只能取cosA=-1/2
将cosA=-1/2代入cosA=（c^2-4c-12)/(c^2+2c)可整理得c^2-c-6=0解得c=3,c=-2.
c=-2不合题意，舍去，c=3
再由正弦定理知三角形面积S=1/2bcsinA=1/2*(c+2)*c*√3/2
S=√3/4(c^2+2c)
将c=3代入S=√3/4(c^2+2c)=15√3/4
故三角形的最大面积为15√3/4

Answer 3

最大角的正弦值为√3/2可知角为60或120
如为60因是最大角就是等边三角形与题不符所是120
COS120=-1/2
根据余弦定理
a^2=b^2+c^2-2bcCOS120=b^2+c^2+bc
a=b+2
c=b-2
(b+2)^2=b^2+(b-2)^2+b(b-2)
可得b=5
a=7
c=3
S=1/2bcSINA
=1/2*5*3*√3/2
=15√3/4