Question

已知函数f(x)=x∧2-2x+a/x,x∈[2,+∞).若对于任意x属于[2,+∞),f(x)>a恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

令F(x)=x^2-2x，G(x)=a-a/x，
则x属于[2,+∞),f(x)>a恒成立等价于x属于[2,+∞),F(x)>G(x)恒成立，
而F(x)=x^2-2x是x>=2时的抛物线的部分，为增函数，F(x)min=F(2)=0
而G(x)=a-a/x是x>=2时的双曲线部分，为增函数，且渐近线为x=0和y=a，
则分为以下情形：
（1）当a>0时，G(x)为增函数，max无限趋近于a，但是永远达不到a，只需F(x)min>G(x)max，即0<a<=1时，F(x)>G(x)恒成立。
(2)当a=0时，G(x)=0，F(x)>G(x)恒成立。
（3）当a<0时，G(x)为减函数，G(x)max=G(2)=a-a/2<F(x)min=0,则a<0
综上，a<=1时，x属于[2,+∞),f(x)>a恒成立

Answer 2

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