Question

根据函数单调性的定义证明:函数f(x)=-x³+1在实数范围内是减函数

请问“因为 x2^2+x1^2-2x1x2>0
所以 x2^2+x1^2>|2x1x2|”中的绝对值是怎么出来的？

Answer 1

设 x1 x2 在（-∞，+∞）上 且 x1<x2
f(x1)-f(x2)
=(-x1^3+1)-(-x2^3+1)
=x2^3-x1^3
=(x2-x1)(x1^2+x1x2+x2^2)
因为 x2^2+x1^2-2x1x2>0
所以 x2^2+x1^2>|2x1x2|
因为 |x1x2|>=-x1x2
所以 |2x1x2|>=-x1x2
即 |2x1x2|+x1x2>=0
所以 x2^2+x1x2+x1^2>0
因为 x2>x1 即x2-x1>0
所以上式
(x2-x1)(x2^2+x1x2+x1^2)>0
所以 函数在（-∞，+∞）上是单调递减的