Question

设｛an｝是各项都为正数的等比数列，其前n项和为Sn,且对任意的n∈N+都有Sn=2an－1。 ⑴

设｛an｝是各项都为正数的等比数列，其前n项和为Sn,且对任意的n∈N+都有Sn=2an－1。 ⑴求数列｛an｝的通项公式⑵求数列｛nSn｝的前n项和Tn

Answer 1

n=1时，a1=S1=2a1-1
a1=1
n≥2时，an=Sn-S(n-1)=2an -1-[2a(n-1)-1]
an=2a(n-1)
an/a(n-1)=2，为定值，数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列
an=1×2^(n-1)=2^(n-1)
n=1时，a1=1，同样满足通项公式
数列{an}的通项公式为an=2^(n-1)
nSn=n(2an -1)=n(2ⁿ-1)=n×2ⁿ -n
Tn=S1+2S2+...+nSn
=(1×2+2×2^2+3×2^3+...+n×2ⁿ)-(1+2+...+n)
令Cn=1×2+2×2^2+3×2^3+...+n×2ⁿ
则2Cn=1×2^2+2×2^3+...+(n-1)×2ⁿ+n×2^(n+1)
Cn-2Cn=-Cn=2+2^2+...+2ⁿ-n×2^(n+1)
=2×(2ⁿ-1)/(2-1) -n×2^(n+1)
=(1-n)×2^(n+1) -2
Cn=(n-1)×2^(n+1) +2
Tn=Cn -(1+2+...+n)=(n-1)×2^(n+1) +2 -n(n+1)/2