Question

高中数学第18题画圈部分不明白，求详细讲解分析，谢谢！

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Answer 1

已知等差数列{an}，首项为2，公差为1，[x]表示不超过实数x的最大整数，记bn={log(3,an-1)}，Sn为数列{bn}的前n项和。
（1）求数列{an}的通项；
（2）求S(3^n)。
解析：由题意，an=2+(n-1)*1=n+1
∵[x]表示不超过实数x的最大整数，
∵数列{bn}，bn=[log(3,an-1)]=[log(3,n)]
要求数列{bn}前3^n和，正确理解其含义是解本题的关键
∴n=[3^t,3^(t+1))时，log(3,n)=t
∴在此区间有3^(t+1)-3^t=(3-1)3^t=2*3^t项，其和为2t*3^t
Sn=[log(3,3^0)]+[log(3,3^0+1)]+
[log(3,3^1)]+[log(3,3^1+1)]+[log(3,3^1+2)]+…+[log(3,3^1+5)]
+[log(3,3^2)]+[log(3,3^2+1)]+…+[log(3,3^2+18)]
+….
+[log(3,3^(n-1))]+[log(3,3^(n-1)+1)]+….+[log(3,3^(n-1)+(3^n-3^(n-1)-1))]
+[log(3,3^n)]
=0*2+1*6+2*18+3*54+…+(n-1)*2*3^(n-1)+n
=2[1*3+2*3^2+3*3^3+…+(n-1)*3^(n-1)]+n

令T(n-1)= 1*3+2*3^2+3*3^3+…+(n-1)*3^(n-1)
3T(n-1)=1*3^2+2*3^3+3*3^4+…+(n-1)*3^n
T(n-1)-3T(n-1)=3+3^2+3^3+….+3^(n-1)-(n-1)*3^n
-2T(n-1)=3(1-3^(n-1))/(1-3)-(n-1)*3^n
∴T(n-1)=[3+(2n-3)*3^n]/4
Sn=2T(n-1)+n=[3+(2n-3)*3^n]/2+n

例数列{bn}前3^4项和为：
S(3^4)=[log(3,3^0)]+[log(3,3^0+1)]+
[log(3,3^1)]+[log(3,3^1+1)]+[log(3,3^1+2)]+…+[log(3,3^1+5)]
+[log(3,3^2)]+[log(3,3^2+1)]+…+[log(3,3^2+18)]
+[log(3,3^3)]+[log(3,3^3+1)]+….+[log(3,3^3+53)]
+[log(3,3^4)]
=0*2+1*6+2*18+3*54+4*1=208

Answer 2