Question

正定二次型的性质

Answer 1

正定二次型的性质如下：

1、n阶实对称矩阵A正定。

A的正惯性指数等于n。

A与单位矩阵合同。

A的顺序主子式大于零。

A的特征值大于零。

A的行列式大于零（但行列式大于零的矩阵不一定是正定矩阵）。

 

2、若n阶实对称矩阵A和B正定，K为实数，则，

①A（逆）、A（伴随矩阵）、A+B均正定；

②KA正定K>0；

③AB正定AB=BA。

 

正定二次型

若对任何非零向量x，实二次型f(x)如果对任何x≠0都有f(x)>0，则称f为正定二次型，并称矩阵A是正定的，记之A>0。

判定方法

1、行列式法

对于给定的二次型，写出它的矩阵，根据对称矩阵的所有顺序主子式是否全大于零来判定二次型 (或对称矩阵)的正定性。

 

2、正惯性指数法

对于给定的二次型 ，先将化为标准形，然后根据标准形中平方项系数为正的个数是否等于来判定二次型的正定性。

 

通过正交变换，将二次型化为标准形后，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值。因此，可先求二次型矩阵的特征值，然后根据大于零的特征值个数是否等于来判定二次型的正定性。

Answer 2

    正定二次型拥有以下两个性质:

  1.设A为正定实对称阵 ,则AT，A-1,A*均为正定矩阵;

  2.若A,B均为n阶正定矩阵 ,则A+B也是正定矩阵。(注:可用正定二次型的定义来验证)

  正定二次型是指:若对任何非零向量x，实二次型f(x)如果对任何x≠0都有f(x)>0，则称f为正定二次型，并称矩阵A是正定的，记之A>0。根据定义，我们可以得出以下4点具体分析:1. 正定矩阵的特征值全大于零  2. 正定矩阵与单位阵合同 3. n元正定二次型的正惯性指数等于n 4.正定矩阵的行列式大于零，且对角元都大于零，归纳总结出来及为二次定型的性质。