Question

已知F1、F2是双曲线 x2/a2- y2/b2=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，以线段F1F2

已知F1、F2是双曲线 x2/a2- y2/b2=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，以线段F1F2为底边作等腰直角三角mf1f2，若mf1的中点在双曲线上，则双曲线离心率

Answer 1

以线段F1F2为底边作等腰直角三角mf1f2

根据对称关系点M必定在y轴上，设M坐标为(0,y)
∵ F1(-c,0) F2(c,0)
∴Kmf1*Kmf2=-1
y/c * y/(-c)=-1
y^2=c^2
y=c
∴M坐标是(0,c)
∴M F1中点坐标是(-c/2, c/2)
∵在双曲线上，
∴代入方程得
c2/a2-c2/b2=1
c2(b2-a2)/a2b2=1
c2(b2-a2)=a2b2
c2(c2-a2-a2)=a2(c2-a2)
c4-2a2c2=a2c2-a4
c4-3a2c2+a4=0
c4/a4-3c2/a2+1=0
e4-3e2+1=0
e2=3/2+√5/2 或e2=3/2-√5/2 (舍去,∵e>1 ∴e2>1)
e=√(3/2+√5/2)

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√10+√2/2，√5+1，√10-√2/2，3+√5