Question

求解。高中数学，圆与直线

一圆的圆心在直线X-Y-1=0上，与直线4X+3Y+14=0相切，在3X+4Y+10=0上截得的弦长为6，求圆的方程。

求圆心为C(2,-1），且截直线Y=X-1所得弦长为2√2的圆的方程

已知圆X^2+Y^2+X-6Y+M=0和直线X+2Y-3=0交于P,Q两点，且OP⊥OQ（O为坐标原点），求该院的圆心坐标及半径、

需要详细过程，谢谢！

Answer 1

1，设圆心O(a,a-1)
半径r是O到直线4x+3y+14=0的距离，化简得r=abs(7a+11)/5
abs是绝对值
又弦心距是O到直线3x+4y+10的距离，化简得
d=abs(7a+6)/5
由勾股定理可知
弦长l=2×(r^2-d^2)^(1/2)=6
所以r^2-d^2=9，解得a=2,所以圆心O(2,1)
r=abs(7a+11)/5=5
圆的方程是(x-2)^2+(y-1)^2=25

2,弦心距d为圆心O(2,-1)到直线y=x-1的距离
化简得d=2^(1/2)
由l=2×(r^2-d^2)^(1/2)得r=2
所以圆的方程是(x-2)^2+(y+1)^2=4

3,联立方程
{x^2+y^2+x-6y+m=0
{x+2y-3=0
将二式代入一式，化简得5x^2+10x+4m-27=0,
伊题意，方程应有两不同的实数根，
判别式>0，解得m<8

当OP,OQ的斜率存在时，有(yp/xp)×(yq/xq)=-1
由韦达定理及x+2y-3=0，得yp×yq=(m+12)/5,xp×xq=(4m-27)/5,
所以[(m+12)/5]/[(4m-27)/5]=-1，
(m+12)/(4m-27)=-1,
解得m=3,满足条件m<8

若OP,OQ有一方斜率不存在，
则5x^2+10x+4m-27=0必有根x=0，此时m=6.75<8,y=3/2
另一根为x=-2,此时y=5/2,
(0,3/2)在y轴正半轴，(-2,5/2)在第二象限，OP显然不垂直于OQ
综上所述，m=3,
圆的方程是x^2+y^2+x-6y+3=0
整理后可知圆心为(-1/2,3)半径是5/2

Answer 2

1)
圆心(m+1,m)到4X+3Y+14=0距离D1=R
R^2=[4(m+1)+3m+14]^2/25
圆心(m+1,m)到3X+4Y+10=0距离D2
D2^2+(6/2)^2=R^2
[3(m+1)+4m+10]^2/25+9=[4(m+1)+3m+14]^2/25
m=1,圆心(2,1)
R^2=[4(m+1)+3m+14]^2/25=25
圆的方程(x-2)^2+(y-1)^2=25
2)
C(2,-1）到直线X-Y-1=0距离D
满足D^2+(2√2/2)^2=R^2
(2+1-1)^2/2+2=R^2
R^2=4
圆的方程(x-2)^2+(y+1)^2=4
3)
X^2+Y^2+X-6Y+M=0
(x+1/2)^2+(y-3)^2=-M-37/4>0,M<-37/4
圆心（-1/2,3)到直线距离D，
OP⊥OQ满足：PQ=2D
R^2=(PQ/2)^2+D^2=2D^2
D^2=(-1/2*1+3*2-3)^2/5=5/4
R=√10/2

Answer 3

1. 圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2, r>0,a,b待定常数。
圆心(a,b)在直线X-Y-1=0上，a-b-1=0.----(1)
圆与直线4X+3Y+14=0相切，|4a+3b+14|/sqrt(4^2+3^2)=r.----(2)
圆心到直线3X+4Y+10=0的距离d=|3a+4b+10|/sqrt(4^2+3^2)，半弦长6/2=3，半径r构成直角三角形，d^2+3^2=r^2.----(3)
联立(1)(2)(3)得, a=2, b=1, r=5。
故圆的方程(x-2)^2+(y-1)^2=25.

2. d=|2-1-(-1)|/sqrt(1^2+(-1)^2)=√2.
r^2=d^2+(√2)^2=4==>r=2.
圆的方程(x-2)^2+(y+1)^2=4.

3. X^2+Y^2+X-6Y+M=(X+1/2)^2+(Y-3)^2+M-37/4=0.
圆心(-1/2,3). 半径r, r^2=37/4-M.
P(x1,y1),Q(x2,y2).
将X=3-2Y代入园方程，5Y^2-20Y+12+M=0.
韦达定理，y1+y2=4,y1y2=(12+M)/5.----(1)
OP⊥OQ==>OP,OQ的斜率之积为-1,
==>(y1/x1)*(y2/x2)=(y1y2)/[(3-2y1)(3-2y2)]=-1.----(2)
联立(1)(2)得, {M=3, y1=3, y2=1}或{M=3, y1=1, y2=3}。
r^2=37/4-M=25/4==>r=5/2.