Question

高一数学函数题。

1。定义在实数集上的函数f(x)，对任意x,y∈R,都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，且f(0)≠0

（1）求证：f(0)=1
（2）判断 f(x)的奇偶性

2。已知f(x)是定义在（-1,1）上的偶函数，且在[0,1)上为增函数，若f(a-2)-f(3-a)<0，求a的取值范围

Answer 1

1.证明：令x，y=0，则有f(0)+f(0)=2f(0）^2,解得f(0)=0或f(0)=1，
又f(0)≠0 所以f(0)=1 （2）：令x=0，则有f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)，因为
f(0)=1 ，所以可得f(-y)=f(y），所以f(x)的为R上的偶函数
2.由已知可得，f(x)在（-1，0）上是减函数，f(a-2)-f(3-a)<0，也即
f(a-2)<f(3-a),此条件等价于，a-2∈（-1,1），3-a∈（-1,1）且
｜a-2｜<｜3-a｜,解得2<a<5/2