Question

设函数f(x)=x 3 +ax 2 +bx在点x=1处有极值-2.（1）求常数a,b的值；（2）求

设函数f(x)=x 3 +ax 2 +bx在点x=1处有极值-2.（1）求常数a,b的值；（2）求曲线y=f(x)与x轴所围成的图形的面积.

Answer 1

（1）a=0,b=-3（2）

（1）由题意知f′(x)=3x 2 +2ax+b, f(1)=-2且f′(1)=0, 即 ，解得a=0,b=-3, 即f(x)=x 3 -3x. (2)作出曲线y=x 3 -3x的草图，所求面积为阴影部分的面积，由x 3 -3x=0得曲线y=x 3 -3x与x轴的交点坐标是(- ,0),(0,0)和( ,0)，而y=x 3 -3x是R上的奇函数，函数图象关于原点中心对称. 所以(- ,0)的阴影面积与(0, )的阴影面积相等. 所以所求图形的面积为 S=2 ［0-(x 3 -3x)］dx =-2（ x 4 - x 2 ）| = .