Question

已知数列{an}的前n项和为sn，满足Sn=2an-2n（n∈N+），（1）求数列{an}的通项公式an；（2）若数列bn满足b

已知数列{an}的前n项和为sn，满足Sn=2an-2n（n∈N+），（1）求数列{an}的通项公式an；（2）若数列bn满足bn=log2（an+2），Tn为数列{bnan+2}的前n项和，求Tn（3）（只理科作）接（2）中的Tn，求证：Tn≥12．

Answer 1

（1）当n∈N₊时，S_n=2a_n-2n，
则当n≥2，n∈N₊时，S_n-1=2a_n-1-2（n-1）
         ①-②，a_n=2a_n-2a_n-1-2，a_n=2a_n-1+2
∴a_n+2=2（a_n-1+2），
∴

an+2

an-1+2

=2，n=1时   S₁=2a₁-2，∴a₁=2
∴{a_n+2}是a₁+2=4为首项2为公比的等比数列，
∴a_n+2=4?2^n-1=2ⁿ⁺¹，
∴a_n=2ⁿ⁺¹-2
（2）证明b_n=log₂（a_n+2）=log₂2ⁿ⁺¹=n+1．
∴

bn

an+2

=

n+1

2n+1

，
则Tn=

2

22

+

3

23

 +…+

n+1

2n+1

，
∴

1

2

Tn=

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

+

n+1

2n+2

④
③-④，

1

2

Tn=

2

22

+

1

23

+

1

24

…+

1

2n+1

-

n+1

2n+2

=

1

4

+

1 4 (1- 1 2n)

1- 1 2

-

n+1

2n+2

=

1

4

+

1

2

-

1

2n+1

- 

n+1

2n+2

=

3

4

-

n+3

2n+2

∴Tn=

3

2

-

n+3

2n+1

．
（3）n≥2时Tn-Tn-1=-

n+3

2n+1

+

n+2

2n

=

n+1

2n+1

＞0，
∴{T_n}为递增数列
∴Tn的最小值是T1=

1

2

∴Tn≥

1

2