Question

已知数列{a n }的前n项和为S n ,且S n =2n 2 +n，n∈N * ,数列{b n }满足a n =4log 2 b n +3，n∈N * .(1

已知数列{a n }的前n项和为S n ,且S n =2n 2 +n，n∈N * ,数列{b n }满足a n =4log 2 b n +3，n∈N * .(1)求a n ,b n ; (2)求数列{a n ·b n }的前n项和T n .

Answer 1

(1)a n =4n-1，b n =2 n-1 (n∈N * )；（2）T n =5+(4n-5)×2 n .

试题分析：(1)本小题中已知S n 是数列{a n }的前n项和，且S n 的表达式已知，当n≥2时，a n =S n -S n-1 ，而当n=1时，a 1 =S 1 且检查是否符合前式，在a n 求出之后利用a n =4log 2 b n +3求得b n ；（2）可知a n ·b n 的表达式是等差乘以等比形式，求这类数列的前n项和T n ，只需用错位相减法可完成求和，即若等比数列的公比为q，则由T n -qT n 进行错位相减，整理出T n 即可. 试题解析：(1)由S n =2n 2 +n,可得：当n≥2时，a n =S n -S n-1 =(2n 2 +n)-[2(n-1) 2 +(n-1)]="4n-1," 当n=1时，a 1 =3符合上式，所以a n =4n-1(n∈N * ).由a n =4log 2 b n +3，可得4n-1=4log 2 b n +3, 解得b n =2 n-1 (n∈N * ). (2)a n b n =(4n-1)·2 n-1 , ∴T n =3+7×2 1 +11×2 2 +15×2 3 +…+(4n-1)×2 n-1 ，                  ① 2T n =3×2 1 +7×2 2 +11×2 3 +15×2 4 +…+(4n-1)×2 n ，             ② ①-②可得： -T n =3+4[2 1 +2 2 +2 3 +2 4 +…+2 n-1 ]-(4n-1)×2 n =3+4× -(4n-1)×2 n =-5+(5-4n)×2 n , ∴T n =5+(4n-5)×2 n . 与 的关系： ，错位相减法求和.