（2009?柳州）如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．（1）求证：CF=BF；
（2009?柳州）如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．（1）求证：CF=BF；（2）若AD=2，⊙O的半径为3，求BC的长．...
（2009?柳州）如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．（1）求证：CF=BF；（2）若AD=2，⊙O的半径为3，求BC的长．
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（1）证明：连接AC，如图
∵C是弧BD的中点
∴∠BDC=∠DBC（1分）
又∵∠BDC=∠BAC
在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB
∴∠BCE=∠BAC
∠BCE=∠DBC（3分）
∴CF=BF；（4分）
（2）解：解法一：作CG⊥AD于点G，
∵C是弧BD的中点
∴∠CAG=∠BAC，
即AC是∠BAD的角平分线．（5分）
∴CE=CG，AE=AG（6分）
在Rt△BCE与Rt△DCG中，
CE=CG，CB=CD
∴Rt△BCE≌Rt△DCG（HL）
∴BE=DG（7分）
∴AE=AB-BE=AG=AD+DG
即6-BE=2+DG
∴2BE=4，即BE=2（8分）
又∵△BCE∽△BAC
∴BC2=BE?AB=12（9分）
BC=±2
（舍去负值）
∴BC=2
．（10分）
解法二：∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB
∴∠BEF=∠ADB=90°，（5分
在Rt△ADB与Rt△FEB中，
∵∠ABD=∠FBE
∴△ADB∽△FEB，
则
＝
，即
＝
，
∴BF=3EF（6分）
又∵BF=CF，
∴CF=3EF
利用勾股定理得：
BE＝
＝2
EF（7分）
又∵△EBC∽△ECA
则
＝
，
则CE2=AE?BE（8分）
∴（CF+EF）2=（6-BE）?BE
即（3EF+EF）2=（6-2
EF）?2
∵C是弧BD的中点
∴∠BDC=∠DBC（1分）
又∵∠BDC=∠BAC
在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB
∴∠BCE=∠BAC
∠BCE=∠DBC（3分）
∴CF=BF；（4分）
（2）解：解法一：作CG⊥AD于点G，
∵C是弧BD的中点
∴∠CAG=∠BAC，
即AC是∠BAD的角平分线．（5分）
∴CE=CG，AE=AG（6分）
在Rt△BCE与Rt△DCG中，
CE=CG，CB=CD
∴Rt△BCE≌Rt△DCG（HL）
∴BE=DG（7分）
∴AE=AB-BE=AG=AD+DG
即6-BE=2+DG
∴2BE=4，即BE=2（8分）
又∵△BCE∽△BAC
∴BC2=BE?AB=12（9分）
BC=±2
| 3 |
∴BC=2
| 3 |
解法二：∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB
∴∠BEF=∠ADB=90°，（5分
在Rt△ADB与Rt△FEB中，
∵∠ABD=∠FBE
∴△ADB∽△FEB，
则
| AD |
| EF |
| AB |
| BF |
| 2 |
| EF |
| 6 |
| BF |
∴BF=3EF（6分）
又∵BF=CF，
∴CF=3EF
利用勾股定理得：
BE＝
| BF2?EF2 |
| 2 |
又∵△EBC∽△ECA
则
| CE |
| AE |
| BE |
| CE |
则CE2=AE?BE（8分）
∴（CF+EF）2=（6-BE）?BE
即（3EF+EF）2=（6-2
| 2 |
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