Question

已知函数f（x）=13x3-bx2+2x+a，x=2是f（x）的一个极值点．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若直线y

已知函数f（x）=13x3-bx2+2x+a，x=2是f（x）的一个极值点．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若直线y=2x和此函数的图象相切，求a的值．

Answer 1

（I）f′（x）=x²-2bx+2，
∵x=2是f（x）的一个极值点，∴f′（2）=2²--4b+2=0，解得b＝

3

2

，
∴f′（x）=x²-3x+2，令f′（x）＞0，解得x＜1或x＞2．
∴函数f（x）的单调递增区间是（-∞，1），（2，+∞）；
（II）设切点为P（x₀，y₀），则f′(x0)＝

x

2 0

?3x0+2＝2，解得x₀=0或3．
∴切点为（0，0）或（3，6）．
代入f（x）得0=a或6=

1

3

×33?

3

2

×32+2×3+a，
解得a=0或a＝

9

2

．