Question

高二等比数列问题，求解

已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,求[Sn*Sn+2-（Sn+1）^2]/[an*an+2]
已知数列{an}为等比数列，Sn为前n项之和.若S3S4-S4^2=-16，a2a4=32，求S4的值.

Answer 1

1）设an=a1*q^(n-1),则有
Sn=a1*(1-q^n)/(1-q),
[Sn*Sn+2-（Sn+1）^2]
=a1^2*{(1-q^n)*[1-q^(n+2)]-[1-q^(n+1)]^2}/(1-q)^2
=-a1^2*q^n,
an*an+2=a1^2*q^2n
所以[Sn*Sn+2-（Sn+1）^2]/[an*an+2] =-1/q^n
2)a2*a4=a3^2=32，所以a3=4√2,
得到 S4-S3=4√2，
由S3S4-S4^2=-16=S4(S3-S4)=-4√2S4,
得到S4=2√2。

注：本题如果想要先求的通项将会异常繁琐，技巧点在于利用中项性质求得a3，再变换为S4-S3