已知定义域为R的函数y=f（x）满足f（x+1）f（x-1）=1，且f（3）=3，则f（2009）=（ ）A．3B．13C．200
已知定义域为R的函数y=f（x）满足f（x+1）f（x-1）=1，且f（3）=3，则f（2009）=（）A．3B．13C．2009D．12009...
已知定义域为R的函数y=f（x）满足f（x+1）f（x-1）=1，且f（3）=3，则f（2009）=（ ）A．3B．13C．2009D．12009
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由题意知，对于任意的实数都有f（x+1）f（x-1）=1，
令x=2代入上式得，f（3）f（1）=1，
∵f（3）=3，∴f（1）=
，
令x=x+1代入得，f（x+2）f（x）=1，则f（x+2）=
，
f（x+4）=
=f（x），∴f（x）是周期函数且周期是4，
∴f（2009）=f（4×502+1）=f（1）=
．
故选B．
令x=2代入上式得，f（3）f（1）=1，
∵f（3）=3，∴f（1）=
| 1 |
| 3 |
令x=x+1代入得，f（x+2）f（x）=1，则f（x+2）=
| 1 |
| f(x) |
f（x+4）=
| 1 |
| f(x+2) |
∴f（2009）=f（4×502+1）=f（1）=
| 1 |
| 3 |
故选B．
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