Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，∠ABC=60°，E、F分别是PB，CD的中点．

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，∠ABC=60°，E、F分别是PB，CD的中点．（Ⅰ）证明：PB⊥面AEF（Ⅱ）求二面角A-PE-F的大小．

Answer 1

（I）证明：∵PA=AB，E是PB的中点，∴PB⊥AE，
∵ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴△ABC，△ACD是等边三角形，（1分）
∵F是CD的中点，∴AF⊥CD，
∵AB∥CD，∴AF⊥AB，（2分）
∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥AF，
AF∩PA=A，∴AF⊥面PAB，（3分）
PB?面PAB，∴AF⊥PB，（4分）
∵AE∩PA=A，∴PB⊥平面 AEF．（5分）
（II）由（I）知，∠AEF是二面角A-PE-F的平面角，（7分）
设AB=a，则AE=

2

2

a，AF=

3

2

a，（9分）
在Rt△AEF中，tan∠AEF=

6

2

，
二面角A-PE-F的大小为arctan

6

2

．（10分）