Question

高一的函数数学题（超难的）

函数f（x）是定义域在（0，正无穷）上的增函数，且f（x/y）=f（x）-f（y），
1、求f（1）的值。
2、若f（6）=1，解不等式f（x+3）-f(1/x)＜2。

请写下详细步骤，顺便说下解题思路，做得好的加分哦。谢谢

Answer 1

0=f(1)-f(1)=f(1/1)=f(1)，思路，一般F（0）F（1）这种特殊值都是自己凑出来的
第二问其实很简单的，看见这种题，首先就去检验题目给的公式能不能用上
f（x+3）-f(1/x)=f（x^2+3x），这不就用上了，要求的就是f（x^2+3x）<2
然后题目说函数f（x）是定义域在（0，正无穷）上的增函数
其实就是要你求出f（y）在什么时候=2，比如在y=m的时候=2；只要满足y<m，
f（y）就小于2了，此时x^2+3x<m就满足了
其实关键在于求m，此时就看是否能通过条件找这个让f（m）=2的m了
同过f（6）=1找f（m）=2，这是两倍关系
逆向思维，f（x/y）=f（x）-f（y）
推出f（x/y）+f（y）=f（x）
如果让x/y=y，就会产生2f（y）=f（x）的效果了吧
也就是当x=y*y的时候2f（y）=f（x）
所以当y=6，x=36的时候，f（36）=2f（6）=2
x^2+3x-36<0
-3/2-√153/2<x<-3/2+√153/2
然后根据定义域x+3和1/x都是要大于0的
所以答案是0<-3/2+√153/2

思路很全了，满意否？

Answer 2

函数f（x）是定义域在（0，正无穷）上的增函数，且f（x/y）=f（x）-f（y），
f(x)=loga X , a>0且不等于1
1、求f（1）的值 f(1)=0
2、若f（6）=1，解不等式f（x+3）-f(1/x)＜2
a=6 ,f(x)=log6 X
log6(x+3)-log6(1/x)<2
log6(x^2+3x)<2
log6(x^2+3x)<log6(36)
x^2+3x<36
x^2+3x-36<0
(x+3/2)^2-153/4<0
x+3/2-√153/2<0 , x+3/2+√153/2 >0
-3/2-√153/2<x<√153/2-3/2 定义域在（0，正无穷）
x<√153/2-3/2

Answer 3

1.令x=y=1，则f（1）=f(1)-f（1）=0；
2。根据f（x/y）=f（x）-f（y），
f（x+3）-f(1/x)＜2=2f（6），化为:
f(x+3)-f(1/x)-f(6)-f(6)<0;
f(x(x+3))-f(6)-f(6)<0
f(x(x+3)/36)<0=f(1)
函数f（x）是定义域在（0，正无穷）上的增函数,所以x(x+3)/36>0且x(x+3)/36<1,
解得-(3+sqrt(153))/2<x<-3 or 0<x<-(3-sqrt(153))/2;
此题型一般用赋值法，然后利用题目中的单调性及定义域求解

Answer 4

(1)
将x=1 ，y=1代入
f(x/y)=f(x)-f(y)
则f(1)=f(1)-f(1)=0
(2)
原不等式f(x+3)-f(1/x)<2
等价于f((x+3)/(1/x))<2
即f(x^2+3x)<2

∵f(6)=1
∴f(6)=f(36/6)=f(36)-f(6)=1
∴f(36)=2

∵f(x)在(0,+∞)上为增函数
∴当0<x^2+3x<36时满足题目条件
解得x∈
-3+根号153
(0 , ------------------]
2

Answer 5

1.f(1)=0 取x=y
2.x<6 取x=1，y=x;则f(1/x)=-f(x),所以f(x+3)+f(x)<2，f(6)=1，f(x)增,所以x<6