Question

已知数列An满足:a1=1,a2=a(a＞0)，数列Bn=AnAn+1

(1)若AN是等差数列，且B3=12，求a的值及AN通项共识
（2）若An是等比数列，求Bn的前n项和Sn
(3)若Bn是公比为a-1的等比数列，问是否存在正实数a,使得数列An为等比数列？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由

会几问教几问啊

Answer 1

已知数列An满足:A1=1,A2=a(a＞0)，数列Bn=AnAn+1
(1)若AN是等差数列，且B3=12，求a的值及AN通项共识
解：你看看那B3=12应该=A3*A3+1 (这就是利用Bn=AnAn+1)
那A3=？？
因为AN是等差数列 2*A2=A1+A3
A3=2*A2-A1=2a-1
a=（A3+1）/2 a>0
由B3=A3*A3+1=12
A3=根号11 (负号舍去，因为a=（A3+1）/2 >0 )
所以
a=（A3+1）/2=（根号11+1）/2

或者你可以这样

所以B3==A3*A3+1 =（2a-1）^2+1=12
即2a^2-2a-5=0
解得a=（1+根号11）/2 ，a=（1-根号11）/2 （舍去，因为a>0）
a=（1+根号11）/2

那么公差d=A2-A1=a-1=（1+根号11）/2 -1=(根号11-1)/2
An=A1+（n-1）*d
=1+(n-1)*(根号11-1)/2

(2)若An是等比数列，求Bn的前n项和Sn
A1=1,A2=a(a＞0)
那公比q=A2/A1=a
An=A1*q^(n-1)=a^(n-1)
又因为Bn=An*An+1
所以Bn=a^[2*(n-1)]+1=(2a)^(n-1)+1
（利用设Cn=(2a)^(n-1) 看做首项C1是1 ，公比q=2a
Cn前n项和Rn为[C1*(1-q^n)/(1-q)]={[1-(2a）^n]/(1-2a)}————这里有点技巧吧
Sn=Rn+n（n个一）
= {[1-(2a）^n]/(1-2a)}+n

(3))若Bn是公比为a-1的等比数列，问是否存在正实数a,使得数列An为等比数列？
若存在，求出a的值，若不存在，说明理由
若Bn是公比为a-1的等比数列
因为Bn=An*An+1
B1=A1*A1+1=2
B2=A2*A2+1=a^2+1
若公比q=a-1
因为q=A2/A1
即（a^2+1）/2=a-1
化简得a^2-2a+3=0
利用辨别根式△=b^2-4ac(记得这里的abc是对应aX^2+bX+c=0的！！！)
即△=b^2-4ac=（-2）^2-4*1*3=-8<0 无解！！！

所以不存在正实数a,使得数列An为等比数列！！！

↖(^ω^)↗

Answer 2

解：（Ⅰ）∵{an}是等差数列a1=1，a2=a，bn=anan+1，b3=12
∴b3=a3a4=（a1+2d）（（a1+3d）=（1+2d）（1+3d）=12
即d=1或d=-
11
6
又因a=a1+d=1+d＞0得d＞-1
∴d=1
∴an=n（4分）
（Ⅱ）{an}是等比数列，首项a1=1，a2=a，故公比q=
a2
a1
=a，
所以an=an-1，代入{bn}的表达式得
bn=anan+1=a2n-1，可得
bn+1
bn
=
a2n+1
a2n-1
=a2
∴数列{bn}是以a为首项，公比为 a2的等比数列
故Sn=
na(a2n-1)a2-1
a=1a≠1
（5分）
（Ⅲ）{an}不能为等比数列，理由如下：
∵bn=anan+1，{bn}是公比为a-1的等比数列
∴
bn+1
bn
=
an+1an+2
anan+1
=
an+2
an
=a-1
∴a3=a-1
假设{an}为等比数列，由a1=1，a2=a得a3=a2，所以a2=a-1
因此此方程无解，所以数列一定不能等比数列．（14分）