Question

如图，直线y=-x+1与x，y轴分别交于A、B两点，P（a，b）为双曲线y=12x（x＞0）上的一动点，PM⊥x轴与M，交

如图，直线y=-x+1与x，y轴分别交于A、B两点，P（a，b）为双曲线y=12x（x＞0）上的一动点，PM⊥x轴与M，交线段AB于F，PN⊥y轴于N，交线段AB于E（1）求E、F两点的坐标（用a，b的式子表示）；（2）当a=34时，求△EOF的面积．（3）当P运动且线段PM、PN均与线段AB有交点时，探究：①BE、EF、FA这三条线段是否能组成一个直角三角形？说明理由；②∠EOF的大小是否会改变？若不变，求出∠EOF的度数，若会改变，请说明理由．

Answer 1

（1）如图1，
∵PM⊥x轴与M，交线段AB于F，
∴x_F=x_M=x_P=a．
∵PN⊥y轴于N，交线段AB于E，
∴y_E=y_N=y_P=b．
∵点E、F在直线AB上，
∴y_E=-x_E+1=b．y_F=-x_F+1=-a+1．
∴x_E=1-b，y_F=1-a．
∴点E的坐标为（1-b，b），点F的坐标为（a，1-a）．
（2）当a=

3

4

时，
∵P（a，b）在双曲线y=

1

2x

（x＞0）上，
∴b=

1

2a

=

2

3

．
∴点P的坐标为（

3

4

，

2

3

），点E的坐标为（

1

3

，

2

3

），点F的坐标为（

3

4

，

1

4

）．
∴ON=

2

3

，NE=

1

3

，OM=

3

4

，FM=

1

4

．
∵直线y=-x+1与x，y轴分别交于A、B两点，
∴当x=0时，y=1，则点B的坐标为（0，1）；
当y=0时，x=1，则点A的坐标为（1，0）．
∴OA=OB=1．
∵PN⊥OB，PM⊥OA，OA⊥OB，
∴∠PNO=∠NOM=∠OMP=90°．
∴四边形OMPN是矩形．
∴PM=ON=

2

3

，NP=OM=

3

4

．
∴BN=1-

2

3

=

1

3

，PE=

3

4

-

1

3

=

5

12

，PF=

2

3

-

1

4

=

5

12

．
∴S_△OEF=S_矩形OMPN-S_△ONE-S_△OMF-S_△PEF
=OM?ON-

1

2

ON?NE-

1

2

OM?FM-