Question

在数列{an}中，已知a1=4，an+1=3an-4n+2（n∈N*）．（Ⅰ）记bn=an-2n，试判断数列求数列{bn}是等差数列还

在数列{an}中，已知a1=4，an+1=3an-4n+2（n∈N*）．（Ⅰ）记bn=an-2n，试判断数列求数列{bn}是等差数列还是等比数列？并证明你的判断；（Ⅱ）求数列{an}的前项和Sn．

Answer 1

（Ⅰ）∵a₁=4，a_n+1=3a_n-4n+2（n∈N^*）．
∴a_n+1-2（n+1）=3（a_n-2n），（n∈N^*）．
即b_n+1=3b_n，
则数列{b_n}是等比数列公比q=3，首项a₁-2=4-2=2；
（Ⅱ）∵数列{b_n}是等比数列公比q=3，首项a₁-2=4-2=2；
∴b_n=2×3^n-1，即a_n-2n=2×3^n-1，
a_n=2×3^n-1+2n，
则数列{a_n}的前项和S_n=2（1+3+…+3^n-1）+2（1+2+…n）=2×

1?3n

1?3

+n(n+1)=3ⁿ-1+n（n+1）．