已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d在x=0处取得极值，曲线y=f（x）过原点O和点P（-1，2），若曲线y=f（x）在P处
已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d在x=0处取得极值，曲线y=f（x）过原点O和点P（-1，2），若曲线y=f（x）在P处的切线l与直线y=2x的夹角为45°，且...
已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d在x=0处取得极值，曲线y=f（x）过原点O和点P（-1，2），若曲线y=f（x）在P处的切线l与直线y=2x的夹角为45°，且l的倾斜角为钝角．（1）求f（x）的解析式；（2）若y=f（x）在区间[2m-1，m+1]上是增函数，求实数m的取值范围；（3）若x1，x2∈[-1，1]，求证：|f（x1）-f（x2）|≤4．
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（1）∵曲线y=f（x）过原点，∴d=0，
∵f'（x）=3ax2+2bx+c，且x=0是f（x）的极值点，
∴f'（0）=0，解得c=0，
∵过点P（-1，2）的切线l的斜率为f'（-1）=3a-2b，
由夹角公式得：|
|＝1?f′(?1)＝?3或f′(?1)＝
（舍），
所以
得
，解得
，
故f（x）=x3+3x2；
（2）f'（x）=3x2+6x=3x（x+2），
令f'（x）＞0即x（x+2）＞0，得x＞0或x＜-2，
∴f（x）的增区间为（-∞，-2]和[0，+∞]，
∵f（x）在区间[2m-1，m+1]上是增函数，
∴[2m-1，m+1]?（-∞，-2]或[2m-1，m+1]?[0，+∞），
∴
∵f'（x）=3ax2+2bx+c，且x=0是f（x）的极值点，
∴f'（0）=0，解得c=0，
∵过点P（-1，2）的切线l的斜率为f'（-1）=3a-2b，
由夹角公式得：|
| 2?f′(?1) |
| 1+2f′(?1) |
| 1 |
| 3 |
所以
|
|
|
故f（x）=x3+3x2；
（2）f'（x）=3x2+6x=3x（x+2），
令f'（x）＞0即x（x+2）＞0，得x＞0或x＜-2，
∴f（x）的增区间为（-∞，-2]和[0，+∞]，
∵f（x）在区间[2m-1，m+1]上是增函数，
∴[2m-1，m+1]?（-∞，-2]或[2m-1，m+1]?[0，+∞），
∴
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