Question

已知二次函数y=x2+ax+a-2．（1）求证：不论a为何实数，此函数的图象与x轴总有两个交点；（2）当两个交点

已知二次函数y=x2+ax+a-2．（1）求证：不论a为何实数，此函数的图象与x轴总有两个交点；（2）当两个交点间的距离为29时，求a的值；（3）在（2）的条件下求出函数的最大值或最小值．

Answer 1

（1）令y=0，
则有x²+ax+a-2=0①，
△=a²-4a+8=（a-2）²+4＞0，
因此不论a的值为多少，抛物线总与x轴有两个不同的交点．

（2）设两交点的坐标为（x₁，0）（x₂，0）（x₁＜x₂）；
根据方程①可得
x₁+x₂=-a，x₁x₂=a-2
x₂-x₁=

(x1+x2)2?4x1x2

=

a2?4a+8

=

29

∴a²-4a+8=29，即a²-4a-21=0
∴a=-3或a=7．

（3）当a=-3时，y=x²-3x-5=（x-

3

2

）²-

29

4

∴函数的最小值为-

29

4

当a=7时，y=x²+7x+5=（x+

7

2

）²-

29

4

∴函数的最小值为-

29

4

∴函数的最小值为-

29

4

．