Question

如图，在△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆分别与AB、AC边相切于D、E两点，连接OD，已

如图，在△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆分别与AB、AC边相切于D、E两点，连接OD，已知BD=1，AD=2，则图中两部分阴影面积的和为（　　）A．5+πB．4+πC．6+12πD．8+13π

Answer 1

解：如图，连接OE．设⊙O与BC交于M、N两点．
∵AB、AC分别切⊙O于D、E两点，
∴AD⊥OD，AE⊥OE，
∴∠ADO=∠AEO=90°，
又∵∠A=90°，
∴四边形ADOE是矩形，
∵OD=OE，
∴四边形ADOE是正方形，
∴OD∥AC，OD=AD=2，∠DOE=90°，
∴∠COE+∠BOD=90°，∠BOD=∠C，
∴在Rt△BOD中，tan∠BOD=

BD

OD

=

1

2

，
∴tanC=

1

2

．
∵在Rt△EOC中，tanC=

OE

CE

=

1

2

．OE=2，
∴CE=4，
∴S_扇形DOM+S_扇形EON=S_扇形DOE=

1

4

S_圆O=

1

4

π×2²=π，
∴S_阴影=S_△BOD+S_△COE-（S_扇形DOM+S_扇形EON）=

1

2

×1×2+

1

2

×4×2-π=5-π，
故选：A．