Question

已知函数f（x）=ax3+3x+2（a∈R）的一个极值点是1．（Ⅰ） 求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程

已知函数f（x）=ax3+3x+2（a∈R）的一个极值点是1．（Ⅰ） 求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）在[-2，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=ax³+3x+2，
∴f'（x）=3ax²+3．
∵函数f（x）的一个极值点是1，
∴f'（1）=3a+3=0．
解得：a=-1．
经检验，a=-1满足题意．
∴f（x）=-x³+3x+2，
∴f（2）=0，f'（2）=-9．
∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程是y=-9（x-2），即9x+y-18=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f'（x）=-3x²+3．
令f'（x）=0，得 x₁=-1，x₂=1．
当x在[-2，3]上变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表

x	-2	（-2，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，3）	3
f'（x）		-	0	+	0	-
f（x）	4	↘	0	↗	4	↘	-16

∴函数f（x）在[-2，3]上的最大值为4，最小值为-16．