Question

如何证明两条直线只有一个交点

Answer 1

假设已知的两条相交直线的方程分别为 A x + B y + C = 0 和 D x + E y + F = 0。

构造以下一条直线：
A x + B y + C + k (D x + E y + F) = 0
则这条直线一定经过已知两条直线的交点（因为该交点的座标必定同时满足前两条直线的方程，所以，交点座标也必然会满足这构造出的第三条直线的方程——这就说明这第三条直线必过已知交点）。当 k = 0 时，这个方程其实就表示了第一条已知直线。注意，无论 k 取何值，这个方程都无法代表第二条已知直线。事实上，这个方程（可整理成标准形式如 (A + k D) x + (B + k E) y + C + k F = 0）可以代表经过前述交点的除第二条已知直线外的所有直线。

当然，也可构造这么一条直线 k (A x + B y + C) + D x + E y + F = 0 （可写成标准式 (k A + D) x + (k B + E) y + k C + F = 0），它可以表示经过交点的——除第一条已知直线以外——的所有直线。