Question

一道初三的数学几何题，急！

如图 AB是圆o的直径，弦CD⊥AB于H，P是AB延长线上一点，CP交圆O于Q，DQ交AB于E，试问当时P在AB延长线上运动事∠OPC与∠ODQ有怎样的关系。请证明。

Answer 1

讨论极限状态：1，当点Q与点C重合时即CP为圆0的切线，此时P点再往右运动将
与圆0不存在交点。容易得出∠ODQ=∠ODC（点Q与点C重合了）
∠OPC=∠OCD（此时三角形OCP是直角三角形且有CH⊥OP）
所以∠OPC=∠ODQ
2，当点P与点B重合时，P点再往左运动将与圆0不存在交点。
由三角形全等容易得出∠OPC=∠ODQ（此时点Q与点P重合于点B）
3.一般状态：连接OQ，有∠QEP=∠DEA（对顶角）
∠COQ=2*∠CDQ（圆心角2倍于同弧圆周角）
所以∠OCQ=（180-∠COQ）/2（三角形OCQ是等腰的）
∠OCQ=（180-2*∠CDQ）/2=90-∠CDQ
在三角形DHE中∠AED=90-∠CDQ
所以∠OCQ=∠AED=∠PEQ
所以三角形OCP相似三角形QEP
所以∠PQE=∠COP=∠DOP
所以三角形ODE相似三角形QPE
得∠OPC与∠ODQ