Question

求曲面积分I=∫∫ { (xdydz+ydzdx+zdxdy) / √（x²+y²+z²）},其中

求曲面积分I=∫∫ { (xdydz+ydzdx+zdxdy) / √（x²+y²+z²）},其中S是球面x²+y²+z²=R²的外侧.

Answer 1

为了利用高斯公式，将目标曲面补成封闭的曲面，且方向向外侧，最后积分值减去这一部分即可.
目标曲面为半球面，补充半球面的底面部分，设为∑a. 新形成的封闭曲面设为 ∑b. 在底面时，z = 0，dz = 0.
则：原积分 I = ∫∫(∑b)xdydz+ydzdx+zdxdy - ∫∫(∑a)xdydz+ydzdx+zdxdy
= ∫∫∫ 3 dV - 0
= 3V(半球)
= 2πR^3.
希望能帮到你