Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,求证,直线AD是CE的垂直平分线

Answer 1

设AD,CE交于F,
∵AD平分∠BAC
∴DC=DE
RT⊿AED,RT⊿ACD中
∵AD=AD,DE=DC
∴RT⊿AED≌ACD
∴AE=AC
⊿AEF,⊿ACF中
∵AE=AC,∠EAF=∠CAF,AF=AF
∴⊿AEF≌⊿ACF
∴EF=CF,∠AFE=∠AFC
∵∠AFE+∠AFC=180°
∴∠AFE=∠AFC=90°
∴AD垂直平分CE

Answer 2

设AD,CE交于F,
∵AD平分∠BAC
∴DC=DE
RT⊿AED,RT⊿ACD中
∵AD=AD,DE=DC
∴RT⊿AED≌ACD
∴AE=AC
⊿AEF,⊿ACF中
∵AE=AC,∠EAF=∠CAF,AF=AF
∴⊿AEF≌⊿ACF
∴EF=CF,∠AFE=∠AFC
∵∠AFE+∠AFC=180°
∴∠AFE=∠AFC=90°
∴AD垂直平分CE

Answer 3

证明：DE⊥AE，∠AED=∠C=90°
AD平分∠BAC，∠CAD=∠EAD
AD=AD ∴△ACD≌△AED。AC=AE，所以A在CE垂直平分线上。ED=DC，所以
D在CE垂直平分线上。
因此AD就是CE的垂直平分线。

Answer 4

∠DEA
=
∠ACB
∠EAD
=
∠DAC
DA=DA
所以△EAD全等于△DAC
所以AE
=
AC
所以△AEC是等腰三角形
AD是角平分线，
故而AD是CE的垂直平分线