Question

在三角形ABC中，AC=BC,<C=90,<CAB的平分线AD交BC于D，过B作BE垂直AD交AD的延长线

在三角形ABC中，AC=BC,<C=90,<CAB的平分线AD交BC于D，过B作BE垂直AD交AD的延长线于E.求证：BE=1\2AD
急救啊，

Answer 1

延长BE交AC的延长线于F
∵∠BFC+∠DAC=90°,∠BFC+∠CBF=90°
∴∠DAC=∠CBF
在⊿BCF,⊿ACD中
∠DAC=∠CBF,AC=BC,∠ACD=∠BCF=90°
∴⊿BCF≌⊿ACD
∴AD=BF
在⊿AEF,⊿ABF中
∵∠AEF=∠AEB=90°,AE=AE,∠EAF=∠EAB
∴⊿AEF≌⊿ABF
∴EF=BE
∴AD=BF=2BE
∴BE=1/2AD

Answer 2

∠BFC+∠DAC=90°,∠BFC+∠CBF=90°
∠DAC=∠CBF
在⊿BCF,⊿ACD中
∠DAC=∠CBF,AC=BC,∠ACD=∠BCF=90°
∴AD=BF
在⊿AEF,⊿ABF中
∵∠AEF=∠AEB=90°,AE=AE,∠EAF=∠EAB
∴EF=BE
∴AD=BF=2BE
∴BE=1/2AD

Answer 3

解题如下：
延长AC、BE相交于F点，（现在证明△ACD ≌△BCF即可）
∵AD平分∠CAB且AE⊥BE于E
∴△FAB中，E为BF的中点，BE=EF=1/2BF
又在RT△AEF和RT△BCF中，∠AFE=∠BFC,
∴RT△AEF∽RT△BCF，∠EAF=∠CBF，即∠CAD=∠CBF
又AC=BC，
∴RT△ACD≌RT△BCF，AD=BF
∴BE=1/2BF=1/2AD，即AD=2BE
证毕。