Question

x1=√3,x2=√(3+√3) ,....,xn=√(3+√3+...+√3)， 证明它的收敛性

x1=√3,x2=√(3+√3) ,....,xn=√(3+√3+...+√3)，
证明它的收敛性

Answer 1

证明{xn}收敛，并求n→∞时xn的极限。

共n个根式

证明：显然此数列是单调增加的。因为x₁=√3<x₂=√(3+√3)；同样得道理，x﹤n-1﹥<x﹤n﹥

另一方面，此数列上方有界。用归纳法证明之。∵x₁=√3<(√3)+1；设x﹤n-1﹥<(√3)+1；

那么x﹤n﹥=√(3+x﹤n-1﹥)<√[3+(√3)+1]<√[3+2(√3)+1]=√[(√3)+1]²=(√3)+1;

∴对任何n，都有x﹤n﹥<(√3)+1；

由极限存在定理：单调有界的数列必有极限，可知该数列必有极限，也就是必收敛。

下面求这个极限。设x﹤n﹥的极限为P，即n→∞lim[x﹤n﹥]=P;

因为x﹤n﹥=√(3+x﹤n-1﹥)或(x﹤n﹥)²=3+x﹤n-1﹥;

对此式的两端取极限：n→∞lim(x﹤n﹥)²=3+n→∞limx﹤n-1﹥;

即有P²=3+P；于是得关于P的二次方程：P²-P-3=0;

其二根为：P=(1±√13)/2；∵x﹤n﹥>0，故其极限不可能是负值，∴P=(1+√13)/2；

Answer 2

供参考。