Question

判断并证明函数F(X)=X+4/X在(-无穷,0)上的单调性

Answer 1

在（-无穷，-2]上单调递增，在[-2，0）上单调递减。
设x2<x1；则有：
F(x1)-F(x2)=x1+4/x1-x2-4/x2=(x1-x2)*(x1*x2-4)/x1*x2;
因为x1-x2>0,x1*x2>0；
所以，当x属于（-无穷，-2]上时，x1*x2-4>0,F(x)单调递增;
当x属于[-2，0）上时，x1*x2-4<0,F(x)单调递减。

Answer 2

F'(X)=1-4/X^2
F''(X)=8/X^3
在(-∞穷,0)，当X=-2时，F'(X)=0，F(X)存在极值F(-2)=1-4/(-2)^2=0
由于F''(-2)=8/（-2）^3=-1＜0，所以该极值是极大值
所以单调区间为：
（-∞，-2），单调增；
（-2,0），单调减

Answer 3

设0>x1 > x2>-2，那么：
f(x1)-f(x2)
=x1+4/x1 - (x2 + 4/x2)
=(x1-x2)+(4/x1-4/x2)
=(x1-x2)+4(x2-x1)/x1*x2
=(x1-x2)(1-4/x1*x2)
因为x1-x2>0
而0<x1x2<4,即1/x1x2>1/4,1-4/x1*x2<0
所以,在(-2,0)上f(x1)-f(x2)是恒小于0的，
所以原函数在此区间为单调递减；
同理，在(-∞,-2)上单调递增

Answer 4

dF(x)/dx=1-4/X^2
因此
x在(-inf,-2)时，dF(x)>0, F(x)单调递增；
x在(-2,0)时，dF(x)<0, F(x)单调递减。