Question

帮忙解决一下高中数学题

已知函数f(x)=(x+a)^3(其中a位实数)，若对任意实数x，恒有f(2-x)=-f(x+2)成立，求f(-3)+f(3)的值。

麻烦写明方法和步骤。

Answer 1

f(2-x)=-f(x+2) 当 2-x=x+2时，即x=0时，代入式子得2f（2）=0
得f（2）=0

f(x)=(x+a)^3求导得 3（x+a）^2>=0,函数单调递增，所以最多与x轴有一个交点。有因得f（2）=0，得f（2）=(2+a)^3=0，a=-2
解得f(x)=(x-2)^3
f(-3)+f(3)=(-3-2)^3+(3-2)^3=-5^3+1^3=-5^3+1

Answer 2

因为f(2-x)=-f(x+2)
即(2-x+a)^3=-(x+2+a)^3
所以2-x+a=-(x+2+a)
2-x+a=-x-2-a
a=-2
因为对于任何x恒成立，所以只能a=-2
所以f(x)=(x-2)^3
f(-3)+f(3)=-124

Answer 3

f(2-x)=-f(x+2)代入x=0,得到f(2)=-f(2)，f(2)=0，而f(2)=(2+a)^3=0,
故a=-2。f(x)=(x-2)^3。f(-3)+f(3)=(-5)^3+1^3=-124

Answer 4

f(x)=(x+a)^3
f(2+x)=-f(2-x)
令t=2+x 则x=t-2
有f(t)=-f(2-t+2)=-f(4-x)
则f(4)=-f(0)
f(4)=(4+a)^3=-f(0)=-a^3 推出 4+a=-a, a=-2
所以f(x)=(x-2)^3
则f(3)=1
f(-3)=-125
f(3)+f(-3)=-124

Answer 5

当x=0时，f(2-x)=-f(x+2)，即f(2)=-f(2)，所以f(2)=0,
带入到f(x)=(x+a)^3中，所以a=-2
所以f(-3)+f(3)=(-5)³+1³=-124