Question

连续小波变换定义

Answer 1

连续小波变换CWT（Continuous Wavelet Transform）也称积分小波变换 IWT（Integral Wavelet Transform），定义为

地球物理信息处理基础

其中系列函数

地球物理信息处理基础

称为小波函数（Wavelet Function）或简称小波（Wavelet）（与式（6-5）比较），它是由函数ψ（t）经过不同的时间尺度伸缩（Time Scale Dilation）和不同的时间平移（Time Translation）得到的。因此，ψ（t）是小波原型（Wavelet Prototype），并称为母小波（Mother Wavelet）或基本小波（Basic Wavelet）。

a是时间轴尺度伸缩参数，b是时间平移参数，系数∣a∣-1/2是归一化因子，它的引入是为了让不同尺度的小波能保持相等的能量。显然，若∣a∣＞1，则ψ（t）在时间轴上被拉宽且振幅被压低，ψ_a，b（t）含有表现低频量的特征；若∣a∣＜1，则ψ（t）在时间轴上被压窄且振幅被拉高，ψ_a，b（t）含有表现高频量的特征。而不同的b值表明小波沿时间轴移动到不同的位置上。

如果母小波ψ（t）是中心为t₀、有效宽度为D_t的偶对称函数，那么，由ψ（t）经尺度变换及平移而得到的小波ψ_a，b（t）的中心则为at₀+b，宽度为aD_t，如图6-3所示。如果把小波ψ_a，b（t）看成是宽度随a改变、位置随b变动的时域窗，那么，连续小波变换可以被看成是连续变化的一组短时傅氏变换的集合，这些短时傅氏变换对不同的信号频率使用了宽度不同的窗函数，具体来说，即高频用窄时域窗，低频用宽时域窗。

图6-3 小波与母小波

将式（6-20）代入式（6-19），得到连续小波变换的简化定义式

地球物理信息处理基础

即信号f（t）关于ψ（t）的连续小波变换等于f（t）与小波ψ（t）的内积。此式可以理解为：

（1）连续小波变换定量地表示了信号与小波函数系中的每个小波相关或接近的程度（与连续信号的相关函数的定义比较可知）。

（2）如果把小波看成是L²（R）空间的基函数系，那么，连续小波变换就是信号在基函数系上的分解或投影。

此外，还应注意：对于不同的母小波，同一信号的连续小波变换是不同的，因此，小波变换定义式（6-19）中用下标ψ强调了这一点。