Question

在x<0时，f(x)=arctanx+arctan1/x=-π/2

Answer 1

问：在x<0时，f(x)=arctanx+arctan1/x=-π/2

答：当 $x < 0$ 时，$\arctan x$ 的取值范围为 $(-\frac{\pi}{2}, 0)$，而 $\arctan \frac{1}{x}$ 的取值范围为 $(0, \frac{\pi}{2})$。 因此，当 $x < 0$ 时，$f(x)$ 的值等于这两个角度的和，即 $f(x) = \arctan x + \arctan \frac{1}{x}$。 由于 $\arctan x < 0$，因此 $f(x)$ 的值为负数。 又因为 $\arctan x$ 的极限值为 $-\frac{\pi}{2}$，$\arctan \frac{1}{x}$ 的极限值为 $\frac{\pi}{2}$，所以当 $x$ 趋近于 0 时，$f(x)$ 的值趋近于 $-\frac{\pi}{2}$。 因此，当 $x < 0$ 时，$f(x) = -\frac{\pi}{2}$。