Question

设f（x）=4x³+2x²-2，其反函数为y=g（x），则g'（4）=？

Answer 1

反函数就是原函数自变量和因变量调换所得的函数。如题：
f（x）=4X^3+2X^2-2，
此时，用y替代X，用X替换f（X），即得：
X=4y^3+2y^2-2，
即：X+2=2y^2（2y+1），可知y即g（X），左右两端同时求导得：
1=4yy'（2y+1）+2y'2y^2=4yy'（3y+1），
这是一个微分方程，解开方程，即得y和y’，进而求出y'|（x=4）=g'（4）。

Answer 2

见下图，供你参考。

Answer 3

dy/dx=f'(x)=12x²+4x，
dx/dy=1/(dy/dx)=1/(12x²+4x)
反函数换字母，导函数： g'(x)=1/f'(y)=1/(12y²+4y)
其中 x、y 分别是原函数的 y、x，4 是原函数的 y：
4x³+2x²-2=4，(x-1)(2x²+3x+3)=0，x=1，y=4
换字母 y=1，x=4，代入导函数
g'(4)=1/(12*1²+4*1)=1/16
都是概念，解题实质就只要四行：第1、3、5、7行

Answer 4

由4x³+2x²-2=4
得：2x³+x²-3=0
(x-1)(2x²+3x+3)=0
得：x=1
所以：f(1)=4
所以：g(4)=1，即对于y=g(x)，当x=4时，y=1
而：x=4g(x)³+2g(x)²-2
所以：1=[12g(x)²+4g(x)]*g'(x)
g'(x)=1/[12g(x)²+4g(x)]
g'(4)=1/[12g(4)²+4g(4)]=1/(12+4)=1/16