Question

高数极限求大佬帮忙解答一下

为啥这一步分母变成sinx的三次方了？

Answer 1

朋友，你好！详细完整清晰过程rt，希望能帮到你解决问题

Answer 2

cotx = cosx / sinx，
三次方后，分母就有了 (sinx)^3。
另外，1+sinxcosbx 极限为 1，因此直接用 1 代替了。

Answer 3

x->0
(1+sinx.cosαx)/(1+sinx.cosβx)
=[(1+sinx.cosβx) +(sinx.cosαx-sinx.cosβx) ]/(1+sinx.cosβx)
=1 + (sinx.cosαx-sinx.cosβx)/(1+sinx.cosβx)
等价于 1 + (sinx.cosαx-sinx.cosβx)
= 1 + sinx.(cosαx-cosβx)
= 1+x[ 1- (1/2)(αx)^2 - 1+ (1/2)(βx)^2 ] +o(x^3)
= 1 + (1/2)(β^2-α^2)x^3 +o(x^3)
//
lim(x->0) [(1+sinx.cosαx)/(1+sinx.cosβx)]^(cotx)^3

=lim(x->0) [(1+sinx.cosαx)/(1+sinx.cosβx)]^[1/(tanx)^3]
=lim(x->0) [(1+sinx.cosαx)/(1+sinx.cosβx)]^(1/x^3)
=lim(x->0) [ 1 + (1/2)(β^2-α^2)x^3 ]^(1/x^3)
=e^[(1/2)(β^2-α^2)]