Question

怎么证明平行于同一平面上的两个直线呢?

Answer 1

在空间中，两条直线有两种情况(不考虑重合)，在同一平面和不在同一平面，其中在同一平面上时与我们的平面几何一样分成两种位置关系平行与相交。

因此我们将之分成三种关系：平行，相交，异面直线

part0.定义问题，初中阶段提出了平行就是两条直线永不相交，这是因为初中只讨论平面几何，但是在空间中不是这样。不是永不相交就是平行的，平行指两条直线在空间中的“方向”相同或相反。因此，你不如看一下自己所在的房间，他是一个长方体不如把地板看成ABCD，天花板对应的看成的A1B1C1D1

AB和B1C1，首先一定不会相交，因为他们所属的平面是平行的，天花板和地板无限扩张都不会有交点(希望你的房间造的比较标准)，那么其中的直线自然也不会有交点。但是这两条线我们在数学上不叫做平行。

所谓定义，就是人为的定义，如果你不能接受，或者你说“凭什么，初中说不相交就是平行啊，凭什么这么定义，高中也该这么定义”那么我也没有办法

part1:凭什么一定没有交点

反证法：如果异面直线m,n有交点A

那么在m上取点B，n上取点C

一定存在平面ABC(不在同一直线上的三个点确定一个平面)

那么显然有m包含于平面ABC,n包含于平面ABC

即m,n都在平面ABC上，与异面直线的定义矛盾

part2：为什么异面直线一定存在，肯定能画出来，不是人想象的吗？

关于异面直线的存在性

定义：平面α和平面β无交点，则称为α∥β

不妨取任意直线m包含于α

那么在β上取一条直线p使得p∥m，在β上取直线n与p相交

此时m不平行于p所以也不平行于n，且与n无交点

下面证明此时它们异面

若这样的m和n存在一个平面γ，同时包含m和n

因为m，n不平行

那么m,n在同一平面上必然有交点

矛盾

所以对于任意直线，必然存在异面直线

part3：异面直线可以平行吗？

不妨设异面直线m和n平行

在m上取点A,n上取B,C两点，显然n在平面ABC上

那么，在平面ABC上，过A必然可以做直线p∥n(七年级的定理，在平面上，过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直)

p∥n，m∥n

那么p∥m

但p和m有交点A

即m与p重合

m也在平面ABC上，与异面直线的定义矛盾

所以异面直线不可能平行