Question

反常积分p积分怎么记

Answer 1

无穷积分

设函数f定义在无穷区间[a,+\infty )上，且在任何有限区间[a,u]上可积，如果存在极限\lim_{u\to +\infty}\int_{a}^{u}f(x)dx=J（1）则称此极限J为函数f在[a,+\infty )上的无穷反常积分（简称无穷积分），记作J=\int_{a}^{+\infty}f(x)dx并称\int_{a}^{+\infty}f(x)dx收敛，如果极限（1）不存在，为方便起见，称\int_{a}^{+\infty}f(x)dx发散。
瑕积分
设函数f定义在区间(a,b]上，在点a的任一右邻域上无界，但在任何内闭区间[u,b]\subset (a,b]上有界且可积，如果存在极限\lim_{u\to a^+}\int_{u}^{b}f(x)dx=J（2）则称此极限为无界函数f在(a,b]上的反常积分，记作J=\int_{a}^{b}f(x)dx，并称反常积分\int_{a}^{b}f(x)dx收敛，如果极限（2）不存在，反常积分\int_{a}^{b}f(x)dx发散，点a称为f的瑕点，无界函数反常积分\int_{a}^{b}f(x)dx又称为瑕积分。

典例

例1.讨论无穷积分\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x^p}的收敛性。

解：由于\int_{1}^{u} dx/x^p = \left\{\begin{matrix} (1/(1-p))(u^1^-^p-1),p\neq 1 & & \\ ln u,p=1 \end{matrix}\right.\lim_{u\to +\infty} \int_{1}^{u}dx/x^p= \left\{\begin{matrix} 1/p-1,p>1&\\ln u,p=1. \end{matrix}\right因此当p>1时收敛，其值为\frac{1}{p-1}当p\leqslant 1时发散于+\infty.

例2.讨论瑕积分\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^p}(p>0)的收敛性。

解：被积函数在(0,1]上连续，x=0为其瑕点。由于\int_{u}^{1}dx/x^p= \left\{\begin{matrix}1/1-p(1-u^{1-p}),p\neq 1&\\ -ln u,p=1 \end{matrix} \right,(0<u<1)且\lim_{u\to 0^+}\int_{u}^{1}x^{-p}dx= \left\{\begin{matrix} 1/1-p,p<1&\\ +\infty ,p\geqslant 1\end{matrix}\right故当0<p<1时，瑕积分收敛于\frac{1}{1-p}当p\geqslant 1时，瑕积分发散于+\infty。

综上：反常积分\int_{0}^{+\infty }\frac{dx}{x^p}(p>0)是发散的。

Answer 2

这样计算，常用的计算反常积分的方法如下所述：用反常积分敛散性定义计算。即直接应用定积分的牛顿-莱布尼兹公式，但是原函数在瑕点处的取值需要求极限获得。需要注意的是定积分的换元积分法和分部积分法也适用于反常积分。
应用常用的反常积分进行计算。例如类似于p级数、对数p级数的反常积分，泊松积分，狄利克雷积分等。
反常积分又叫广义积分，是对普通定积分的推广，指含有无穷上限/下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分（又称无界函数的反常积分）。

Answer 3

反常积分又叫广义积分。广义积分判别法只要研究被积函数自身的性态,即可知其敛散性。它不仅比传统的判别法更加精细,而且避免了传统判别法需要寻找参照函数的困难。
反常积分收敛判别法规律：积分后计算出来是定值，不是无穷大，就是收敛；积分后计算出来的不是定值，是无穷大，就是发散 。