Question

1.利用初等变换求矩阵A= 1 2 3 2 3 4 3 5 6 的逆矩阵,并求A的行列式.

Answer 1

要求矩阵 A = 1 2 3
2 3 4
3 5 6 的逆矩阵和行列式，我们可以使用初等行变换。
首先，将矩阵 A 与单位矩阵 I 进行拼接，得到增广矩阵 [A | I]：
1 2 3 | 1 0 0
2 3 4 | 0 1 0
3 5 6 | 0 0 1
接下来，利用初等行变换将矩阵 A 转化为上三角矩阵：
R2 = R2 - 2R1
R3 = R3 - 3R1
1 2 3 | 1 0 0
0 -1 -2 | -2 1 0
0 -1 -3 | -3 0 1
接着，再进行一次初等行变换，将主对角线上的元素变为 1：
R2 = -R2
R3 = -R3
1 2 3 | 1 0 0
0 1 2 | 2 -1 0
0 1 3 | 3 0 -1
最后，再进行一次初等行变换，使得上三角矩阵转化为单位矩阵：
R3 = R3 - R2
1 2 3 | 1 0 0
0 1 2 | 2 -1 0
0 0 1 | 1 1 -1
现在，我们得到了增广矩阵 [I | A^(-1)]，也就是 A 的逆矩阵。所以 A 的逆矩阵为：
1 0 0
2 -1 0
1 1 -1
最后，我们可以通过计算矩阵 A 的行列式来求得它的行列式的值。根据行列式的性质，行列式的值等于矩阵 A 逆矩阵的行列式的倒数，即：
det(A) = 1 / det(A^(-1))
由于 A 的逆矩阵已经求得，我们可以直接计算其行列式的值，即：
det(A) = 1 / det(A^(-1)) = 1 / (-1) = -1
所以，矩阵 A 的逆矩阵为：
1 0 0
2 -1 0
1 1 -1
行列式的值为 -1。

Answer 2

（A，E）=
[1 2 3 1 0 0]
[2 3 4 0 1 0]
[3 5 6 0 0 1]
初等行变换为
[1 2 3 1 0 0]
[0 -1 -2 -2 1 0]
[0 -1 -3 -3 0 1]
初等行变换为
[1 0 -1 -3 2 0]
[0 -1 -2 -2 1 0]
[0 0 -1 -1 -1 1]
初等行变换为
[1 0 -1 -3 2 0]
[0 1 2 2 -1 0]
[0 0 1 1 1 -1]
初等行变换为
[1 0 0 -2 3 -1]
[0 1 0 0 -3 2]
[0 0 1 1 1 -1]
A^(-1) =
[-2 3 -1]
[ 0 -3 2]
[ 1 1 -1]