Question

如图三角形ABC外角平分线PB,PC相交于点P,试说明点P也在角BAC的平分线上

Answer 1

作角B，C外角平分线相交于P
P到B，C距离相等（平分线上一点到角两边距离相等）
B，C分别在直线AB，AC上
即P到直线AB，AC距离相等
又因为平分线上一点到角两边距离相等
所以P在BAC的角平分线上

注：图形要画对，B，C两角的外角同时在BC边的外面

Answer 2

设AP与BC相交于点Q
延长AB至D使得BD＝BQ
延长AC至E使得CE＝CQ
∵PB是ΔABC的外角平分线
∴∠PBD＝∠PBQ
∵PB＝PB（公共），BD＝BQ（作图）
∴ΔPBD≌ΔPBQ
∴PD＝PQ，∠PDB＝∠PQB
同理，可得：PE＝PQ，∠PEC＝∠PQC
∵∠PQB与∠PQC互补
∴∠PDB与∠PEC互补
∴PD＝PE，sin∠PDB＝sin∠PEC

由正弦定理，可知：
在ΔPAD中，PA/sin∠PDB＝PD/sin∠PAB
在ΔPAE中，PA/sin∠PEC＝PE/sin∠PAC
∴sin∠PAB＝sin∠PAC

∵∠BAC是ΔABC的内角，即∠BAC<180°
∴∠PAB＋∠PAC≠180°
∴∠PAB＝∠PAC，即PA是∠A的平分线
得证

Answer 3

作角B，C外角平分线相交于P
P到BC，AC延长线，AB延长线距离相等（平分线上一点到角两边距离相等）
即P到直线AB，AC距离相等
又因为平分线上一点到角两边距离相等
所以P在BAC的角平分线上

Answer 4

不要信第一位回答者，他的回答是错误的。相信我，你要画过P点的垂线。