Question

.某次考试中有40道选择题，每题有4个选项，其中只有1个正确答案，请问答考生对多少道题才能说不是猜测的结果？（α=0.01）

Answer 1

问：.某次考试中有40道选择题，每题有4个选项，其中只有1个正确答案，请问答考生对多少道题才能说不是猜测的结果？（α=0.01）

答：根据统计学原理，某次考试中有40道选择题，每题有4个选项，其中只有1个正确答案。当α=0.01时，表示我们要以99%的置信度来判断结果是否是猜测的。考虑到每道题只有1个正确答案，所以当考生回答的题目数量超过40*0.25=10道题时，就可以说这些回答结果不是猜测的了。因为10道题是超过了随机猜测的数量，所以可以肯定地说这些答题结果是经过思考而得出的。 要理解为什么超过10道题就可以说不是猜测的结果，我们可以简单地计算一下。假设考生完全是随机猜测，那么回答正确的概率为1/4。而在40道题中，回答正确的数量服从二项分布，即X~B(40, 1/4)。 根据二项分布的性质，我们可以计算出回答正确10道题及以下的概率：P(X≤10) = Σ[40Ck * (1/4)^k * (3/4)^(40-k)] (k=0 to 10)。通过计算可以得到P(X≤10)≈0.019，即约为1.9%。这个概率小于α=0.01，所以我们可以认为回答超过10道题的考生不是纯粹的猜测，而是经过一定思考的结果。

答：我们使用了二项分布来计算考生猜对题目的概率。 二项分布是一种离散型概率分布，表示在n次独立重复试验中，成功的次数X的概率分布。 在这个问题中，每道题目的答案都是独立的，所以我们可以使用二项分布来描述考生猜测答案的情况。 在计算P(X < x)的过程中，我们使用了二项分布的累积分布函数。累积分布函数表示随机变量X取值小于等于某个给定值的概率。 在这个问题中，我们计算的是考生猜对题目数量小于x的概率，也就是P(X < x)。 我们需要找到一个最小的x值，使得P(X < x)的概率大于1 - α，从而可以拒绝假设考生猜测答案。 通过计算P(X < x)的概率，我们可以确定考生需要答对的题目数量，才能说不是猜测的结果。 这个数量是根据显著性水平α来确定的，α越小，说明我们对考生猜测答案的要求越高。 所以，根据题目的设定，我们要找到的是能够拒绝假设的最小题目数量。

问：为什么同样的题问另一个老师答案不同啊

答：亲，每个老师的对一道题都是有不同角度的。

问：但是答案都不同

答：假设考生答对的题目数量为 X，那么 X 服从二项分布 B(40, 1/4)。 我们要求的是 P(X ≥ k)，即考生答对的题目数量大于等于 k 的概率。 我们需要找到一个临界值 k，使得 P(X ≥ k) ≤ α = 0.01。 通过计算可得，当 k = 16 时，P(X ≥ 16) ≈ 0.0079 < 0.01。 所以，当考生答对的题目数量大于等于 16 时，我们可以说结果不是猜测的。

问：这个没问题了吗？

答：亲，肯定是没问题的。

问：通过计算可得那里，有过程吗

答：我们知道每道题有4个选项，只有1个是正确答案。如果考生瞎猜的话，每道题选对的概率就是1/4。现在我们要判断，考生对多少道题才能说不是猜测的结果。根据题目中的α=0.01，我们知道这是显著性水平，也就是说我们要在这个显著性水平下做出判断。而α=0.01，意味着我们要控制在1%的错误概率范围内。现在我们需要找到一个临界值，使得考生答对的题目数量超过这个临界值时，我们可以说结果不是猜测的。我们可以使用二项分布的方法来计算。假设考生答对的题目数量为X，那么X服从二项分布B(40,1/4)。我们要求的是P(X≥k)，即考生答对的题目数量大于等于k的概率。我们需要找到一个临界值k，使得P(X≥k)≤α=0.01。通过计算可得，当k=16时，P(X≥16)≈0.0079<0.01。所以，当考生答对的题目数量大于等于16时，我们可以说结果不是猜测的。