为什么要用π这个近似值来表示圆周率?
圆的周长与直径的比值,是一个生产实践中普遍存在的数学常数。
现在习惯用字母π来表示,它可以用来方便地通过容易测量的直径计算不容易测量的圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。小数点后面的位数决定计算精度,所以
根据“圆周长/圆直径=圆周率”,古人用几何方法不断逼近圆周长,就求出更高位数的圆周率。
割圆术是在3世纪中期,魏晋时期的数学家刘徽首创,为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法。南北朝时期数学家祖冲之在此基础上,首次将“圆周率”精算到小数第七位,即在3.1415926和3.1415927之间。
圆周率的历史发展
1、实验时期
中国古代从先秦时期开始,一直是取“周三径一”(即圆周周长与直径的比率为三比一)的数值来进行有关圆的计算。但用这个数值进行计算的结果,往往误差很大。公元前800至600年成文的古印度宗教巨著《百道梵书》显示了圆周率等于分数339/108,约等于3.139。
2、几何法时期
古希腊大数学家阿基米德(公元前287–212 年) 开创了人类历史上通过理论计算圆周率近似值的先河。阿基米德从单位圆出发,先用内接正六边形求出圆周率的下界为3,再用外接正六边形并借助勾股定理求出圆周率的上界小于4。
公元263年,中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率,他先从圆内接正六边形,逐次分割一直算到圆内接正192边形,由此而求得了圆周率为3.1415和 3.1416这兄戚念两个近似数值。
3、分析法时期
这是圆周率计算上的一次突破,是以手求π的解析表达式开始的。法国数学家韦达(1540-1603年)开创了一个用无穷级数去计算π值的崭新方向。这一时期人们开始利用无穷级数或无穷连乘积求π,摆脱可割圆术的繁复计算。无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值表达式纷纷出现,使得π值计算精度迅速增加。1706年,英国羡困数学家梅钦率先将π值突破百位。到1948年英国的弗格森(D. F. Ferguson)和美国的伦奇共同发表了π的808位小数值,成为人工计算圆周率值的最高纪录。
4、计算机时代
在1976年,新的突破出现了。萨拉明(Eugene Salamin)发表了一条新的公式,那是一条二次收敛算则,也就是说每经过一次计算,有效数字就会倍增。高斯以前也发现了一条类似的公式,但十分复杂,在那没有电脑的时代是不可行的。这算法被称为布伦特-萨拉明(或萨拉明-布伦特)演算法,亦称高斯-勒让德演算法。
1989年美国哥伦比亚大学研究人员用克雷-2型(Cray-2)和IBM-3090/VF型巨型电子计算机计算出π值小数点后4.8亿位数,后又继续算到小数点后10.1亿位数。2010年1月7日——法国工程师法布里仔扒斯·贝拉将圆周率算到小数点后27000亿位。2010年8月30日——日本计算机奇才近藤茂利用家用计算机和云计算相结合,计算出圆周率到小数点后5万亿位。2011年10月16日,再次刷新到10万亿位的纪录。56岁的近藤茂使用的是自己组装的计算机,从10月起开始计算,花费约一年时间刷新了纪录。
圆周率的性质与应用
π是个无理数,即不可表达成两个整数之比,是由瑞士科学家约翰·海因里希·兰伯特于1761年证明的。 1882年,林德曼(Ferdinand von Lindemann)更证明了π是超越数,即π不可能是任何整系数多项式的根。
圆周率的超越性否定了化圆为方这古老尺规作图问题的可能性,因所有尺规作图只能得出代数数,而超越数不是代数数。
2021-01-25 广告