Question

6.设 :x^2+y^2+z^2≤1,z≥0 ,则I =(2x^2+3y^2+5z^2)dv=？

Answer 1

根据给定的条件 x^2 + y^2 + z^2 ≤ 1 和 z ≥ 0，我们可以看出这是一个球体在第一卦限的部分。
要计算积分 I = ∫(2x^2 + 3y^2 + 5z^2) dv，我们需要确定积分的限定范围。由于给定条件限制了积分区域为球体的一部分，我们可以使用球坐标来进行积分。
在球坐标系下，体积元素 dv 的表示为 dv = r^2 sinθ dr dθ dφ，其中 r 是径向距离，θ 是极角，φ 是方位角。
由于限制了 z ≥ 0，所以积分范围是 θ ∈ [0, π/2]，φ ∈ [0, 2π]，r ∈ [0, 1]。
将 dv = r^2 sinθ dr dθ dφ 代入积分式中，我们可以得到：
I = ∫(2x^2 + 3y^2 + 5z^2) dv = ∫∫∫(2r^2 sin^2θ cos^2φ + 3r^2 sin^2θ sin^2φ + 5r^2 cos^2θ) r^2 sinθ dr dθ dφ
根据积分的范围和表达式，我们可以依次进行积分计算：
∫r^4 sinθ dr = (1/5)r^5 |[0,1] = 1/5
∫sin^θ dθ = -cosθ |[0,π/2] = 1
∫cos^2φ dφ = φ/2 + (1/4)sin(2φ) |[0,2π] = π
将上述结果代入积分式中，得到：
I = ∫∫∫(2r^2 sin^2θ cos^2φ + 3r^2 sin^2θ sin^2φ + 5r^2 cos^2θ) r^2 sinθ dr dθ dφ
= (2/5) ∫r^4 sinθ dr ∫sin^θ dθ ∫cos^2φ dφ
= (2/5) * (1/5) * 1 * π
= 2π/25
因此，积分 I = (2x^2 + 3y^2 + 5z^2) dv 的结果为 2π/25。