Question

不等式问题 数学

若关于x的不等式（2x-1）^2＜ax^2的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围。

设a为实数，函数f（x）=x^2+绝对值（x-a）+1，x属于R。
（1）讨论f（x）的奇偶性
（2）求f（x）的最小值

定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（4-x），且当x＞2时，f（x）单调递增，若x1，x2满足x1＜x2，x1+x2＜4，（x1-2)(x2-2)＜0，则f（x1）-f（x2）的值（）
A.恒正 B.恒负 C.可能为0 D.可正可负

Answer 1

A)(2x-1）^2＜ax^2
(4-A)X^2- 4x + 1 < 0
设F(X)=(4-A)X^2- 4x + 1
因为是二次函数,
当二次系数4-A<0,开口向下,F(X)<0,有无穷多个,与整数恰有3个不符合,舍去
二次系数4-A=0,直线方程,F(X)<0,有无穷多个,与整数恰有3个不符合,舍去
所以必然有4-A>0
当二次系数4-A>0 开口向上,函数有最小值,最小点为X=4/(2*(4-A))=2/(4-A)
且F(X)=(4-A)(X-2/(4-A))^2-4/(4-A)+1=(4-A)(X-2/(4-A))^2+A/(4-A)
所以F(X)<0
范围是 2/(4-A)-√(A/(4-A))<X<2/(4-A)+√(A/(4-A))
因为解集中的整数恰有3个
所以必有)3<√(A/(4-A))-(-√(A/(4-A)))<4
就是它两的差中间有3个整数 即 3/2<√(A/(4-A))<2
9/4<A/(4-A)<4 =>36/13<A<16/5
又4-A>0 ==A<4 综合 所以A的范围是 36/13<A<16/5

B)f（x）=x^2+|x-a|+1
1)
因为F(0)>1 不等于0,所以F(X)一定不是奇函数
而F(-X)=(-X)^2+|-X-A|+1=X^2+|X+A|+1
所以当|X-A|=|X+A|时候 即A=0 F(X)是偶函数
当A<>0时候 F(X)不是偶函数

2).因为X^2>=0 |X-A|>=0.所以当X^2,|X-A|都=0,即X=0 A=0时候,F(X)有最小值且等于1

C)定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（4-x），且当x＞2时，f（x）单调递增
设A>B>2 则F(A)>F(B)
又F(A)=F(4-A) F(B)=F(4-B)==>F(4-A)>F(4-B)
对应函数F(X-4) A>B>2,则4-A<2 4-B<2,且 4-A<4-B
所以X<2时候其函数F(X)是单调递减

若x1，x2满足x1＜x2，x1+x2＜4，（x1-2)(x2-2)＜0
则X1属于<2 X2属于X>2 且2-X1<X2-2
因为（x）满足f（x）=f（4-x），
所以f（x1）-f（x2）>0
所以选择A

Answer 2

你是高中还是初中的啊，我都大学毕业几年了，大学也不是数学专业，都忘记了，下面你看看，能不能看懂！
1。解：∵（2x-1）^2＜ax^2
∴4x^2 - 4x + 1 < ax^2
即(4-a)x^2 - 4x + 1 < 0
令f(x)=(4-a)x^2 - 4x + 1;
由题意，4-a > 0;（如果<0,则抛物线开口向下，解集中的整数肯定不会只有三个，而应该是无穷多个；如果=0，则为一条直线，且该直线直线的解集也不可能为3个，也为无穷多个）
我很多忘记了，我划个图，你自己算吧！
令f(x)=(4-a)x^2 - 4x + 1 = 0；
求出 X1、X2；
可得3<X2-X1<4与4-a > 0;就可以求出a的范围了。
图片传不上去！