Question

抽象函数单调性的证明

已知定义在R上的函数f(x)满足:
(1)对任意x>0,都有f(x)>0;
(2)f(x)+f(y)=f(x-y)对任意实数x、y都成立，试证明f(x)是减函数.

Answer 1

设x1＜x2，则
∵f（x）+f（y）=f（x-y）对任意实数x，y都成立，那么令x=x2，y=x2-x1有：
f（x2）+f（x2-x1）=f（x2-（x2-x1））=f（x1）
f（x1）-f（x2）=【f（x2）+f（x2-x1）】-f(x2)=f(x2-x1)
∵x2-x1＞0，∴f（x2-x1）＞0
∴f（x1）-f（x2）＞0
∴f（x）是减函数；

本题的证明关键点在于：f(x)+f(y)=f(x-y)对任意实数x、y都成立；

Answer 2

抽象函数的单调性

Answer 3

u<v
f(u)-f(v)
=f[v-(v-u)]-f(v)
=f(v)+f(v-u)-f(v)
=f(v-u)>0(∵v-u>0)
f(u)>f(v)