Question

已知函数f(x)=4x/(3x^2+3),x∈【0，2】

（1）求f(x)的值域 （2）设a≠0，函数g(x)=1/3*a*x^3-a^2*x,x∈【0，2】。若对任意x1∈【0，2】，总存在x0∈[0,2],求得f(x1)-f(x0)=0,求实数a的取值范围。

Answer 1

已知函数f(x)=4x/(3x^2+3),x∈【0，2】
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（1）求f(x)的值域 （2）设a≠0，函数g(x)=1/3*a*x^3-a^2*x,x∈【0，2】。若对任意x1∈【0，2】，总存在x0∈[0,2],求得f(x1)-f(x0)=0,求实数a的取值范围。
已知函数f(x)=4x/(3x^2+3),x∈[0,2]
(1)求f(x)的值域
解：x=0时，有f(x)=0；x≠0时，有
f(x)=4x/(3x^2+3)
=(4/3){1/[x+(1/x)]},
又拦消h(x)=x+(1/x)在(0,1)上为减函数，在[1，2]上为增函数，所以h(x)=x+(1/x)在x=1时取最小值2，从而f(x)=4x/(3x^2+3)≤2/3。即f(x)的值域为[0，2/3]。

(2)设a不等于0，函数g(x)=1/3 ax^3-a^2x,x∈[0,2]。若对任意x1∈[0,2]，总存在x2∈档简[0,2]，使f(x1)-g(x2)=0。求实数a的取值范围
解：由题意可知，“对任意x1∈[0,2]，总存在x2∈[0,2]，使f(x1)-g(x2)=0”成立的充要条件为“函数g(x)=1/3 ax^3-a^2x（x∈[0,2]）的值域为[0，2/3]的子区间”。
当a＜0时，g'(x)= ax^2-a^2＜0，函数g(x)=1/3 ax^3-a^2x,x∈[0,2]为减函数，且g(0)=0，所以，此种情况不成立。
当a＞0时，令g'(x)= ax^2-a^2=0，得x^2=a，x=√a。由于g(0)=0，又函数g(x)=1/行衡裤3 ax^3-a^2x（x∈[0,2]）的值域为[0，2/3]的子区间，所以，g(x)在区间[0,2]上必为增函数，即必有√a≥2，得a≥4,且g(2)=8a/3-2a^2≤2/3。解得a≤1/3或a≥1。
综合知a≥4即为所求。

Answer 2

答案是［1/3,1
］