Question

已知RT△ABC，角ABC=90°，AC=BC,点D 是斜边的中点，经过点C引一条直线l(不与AC、BC重合并且不经过点D)

操作：经过点A做AE⊥L，经过点B做BF⊥L，连结DE、DF
猜想△DEF的形状并证明
请回答详细过程

Answer 1

连接CD
直线L所交的直线AB点为O
直线CD所交的直线FB点为P

∵AC=BC 所以△ABC是等腰三角形
∴CD=AD=BD （三线合一）
∵AE⊥L BF⊥L
∴∠AEC=∠CFB=90°
∵∠CAE+∠ACE=180°-∠AEC （三角形内角和为180°）
∴∠CAE+∠ACE=90°
∵∠ACB=90°∠AEC=90°
∵∠ACB=∠ACE+∠ECB
∴∠CAE=∠ECB

在△ACE和△CBF中
∠ACB=∠AEC
∠CAE=∠ECB
AC=BC
∴△ACE≌△CBF （AAS）
∴AE=CF (全等三角形对应边相等）

∵∠EAD+∠EOA=∠FOD+∠FBO=90°
∵∠EOA=∠FOD （对顶角相等）
∴∠EAD=∠FBO
∵∠FBO+∠DPB=∠ECD+∠CPF=90°
∵∠DPB=∠CPF （对顶角相等）
∴∠EAD=∠ECD

在△ADE和△CFD中
AE=CF
∠EAD=∠ECD
CD=AD
∴△ADE≌△CFD (SAS）

∴DF=DE (全等三角形对应边相等）
∴∠ADE=∠CDF (全等三角形对应角相等）
∵CD⊥AB
∴∠CDA=90°
∵∠ADF+∠CDF=90°
∴∠ADF+∠ADE=90°
∴△DEF为等腰直角三角形

Answer 2

解：

△DEF是等腰三角形，且DE=EF

证明：

过D作直线l的垂线段，垂足为G，

∵AE⊥l，BF⊥l，

∴AE‖DG‖BF，

∵D是AB的中点，

∴根据平行线等分线段定理，得

G是EF的中点，

即GE=GF，

又∵GD=GD，∠DGE=∠EGF=90°，

∴△DGE≌△DGF，

∴DE=DF，

∴△DEF是等腰三角形

得证！